如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.(1)若A...

问题详情：

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.

(1)若AC＝5，BC＝13，求⊙O的半径；

(2)过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F＝2∠B，求*：四边形ACEF是菱形．

(导学号　02052449)

【回答】

解：(1)如图，连接OE，设圆O半径为r，

在Rt△ABC中，BC＝13，AC＝5，

根据勾股定理得：AB＝＝12，

∵BC与⊙O相切，切点为E，∴OE⊥BC，

∴∠OEB＝∠BAC＝90°，

∵∠B＝∠B，∴△BOE∽△BCA，∴＝，即＝，

解得：r＝；

(2)∵＝，∠F＝2∠B，

∴∠AOE＝2∠F＝4∠B，

∵∠AOE＝∠OEB＋∠B，

∴∠B＝30°，∠F＝60°，

∵EF⊥AD，∴∠EMB＝∠CAB＝90°，

∴∠MEB＝∠F＝60°，CA∥EF，∴CB∥AF，

∴四边形ACEF为平行四边形，

∵∠CAB＝90°，OA为半径，∴CA为圆O的切线，

∵BC为圆O的切线，∴CA＝CE，

∴平行四边形ACEF为菱形

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题