已知,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.以AC上一点O为圆心的⊙O与BC相切于点C,与AC相交...

问题详情：

已知,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.以AC上一点O为圆心的⊙O与BC相切于点C,与AC相交于点D.

(Ⅰ)如图①,若⊙O与AB相切于点E,求⊙O的半径;

(Ⅱ)如图②,若⊙O在AB边上截得的弦FG=,求⊙O的半径.

【回答】

解:(Ⅰ)如解图①,连接OE,∵⊙O与AB相切于点E,

∴OE⊥AB,

设OE=x,则CO=x,AO=4－x,

∵⊙O与AB相切于点E,

∴∠AEO=90°,

∵∠A=∠A,∠AEO=∠ACB=90°,

∴Rt△AOE∽Rt△ABC,

∴,∴,解得:x=,

∴⊙O的半径为.

(Ⅱ)如解图②,过点O作OH⊥AB,垂足为点H,则H为FG的中点,FH=FG=,

连接OF,设OF=x,则OA=4－x,

由Rt△AOH∽Rt△ABC可得OH=,

在Rt△OHF中,据勾股定理得:OF2=FH2＋OH2,

∴x2=()2＋()2,解得x1=,x2=－(舍去),

∴⊙O的半径为.

    图①                 图②

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：综合题