如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作...

问题详情：

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．

（1）求*：四边形DCFG是平行四边形．

（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．

【回答】

【分析】（1）连接AE，由∠BAC＝90°，得到CF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠AED＝90°，即GD⊥AE，推出CF∥DG，推出AB∥CD，于是得到结论；

（2）设CD＝3x，AB＝8x，得到CD＝FG＝3x，于是得到AF＝CD＝3x，求得BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，求得BC＝6+4＝10，根据勾股定理得到AB＝＝8＝8x，求得x＝1，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】（1）*：连接AE，

∵∠BAC＝90°，

∴CF是⊙O的直径，

∵AC＝EC，

∴CF⊥AE，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AED＝90°，

即GD⊥AE，

∴CF∥DG，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∴∠ACD+∠BAC＝180°，

∴AB∥CD，

∴四边形DCFG是平行四边形；

（2）解：由CD＝AB，

设CD＝3x，AB＝8x，

∴CD＝FG＝3x，

∵∠AOF＝∠COD，

∴AF＝CD＝3x，

∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，

∵GE∥CF，

∴，

∵BE＝4，

∴AC＝CE＝6，

∴BC＝6+4＝10，

∴AB＝＝8＝8x，

∴x＝1，

在Rt△ACF中，AF＝10，AC＝6，

∴CF＝＝3，

即⊙O的直径长为3．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，平行四边形的判定和*质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

知识点：各地中考

题型：解答题