已知函数,.(Ⅰ)若在上存在极大值点,求实数的取值范围;(Ⅱ)求*:,其中.
问题详情:
已知函数,.
(Ⅰ)若在上存在极大值点,求实数的取值范围;
(Ⅱ)求*:,其中.
【回答】
(Ⅰ) (Ⅱ)见*
【分析】
(Ⅰ)先对函数求导,再由分类讨论的思想,分别讨论,和三种情况,即可得出结果;
(Ⅱ)令可得,由(Ⅰ)可知的极大值,再由时,,即可*结论成立;也可用数学归纳法*.
【详解】
解:(Ⅰ)由于,
则①当时,,
即当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
故在处取得极大值,
则,解得:;
②当时,恒成立,无极值,不合题意舍去;
③当时,,
即当时,,单调递减;
当时, ,单调递增;
故在处取得极小值,不合题意舍去;
因此当时,在上存在极大值点;
(Ⅱ)法一:令,,
由(Ⅰ)得:在处取得极大值1,且该极值是唯一的,
则,即,当且仅当时取“=”,
故当时,,
因此.
法二:下面用数学归纳法*:,对恒成立.
(1)当时,左边,右边,
左边右边,结论成立;
(2)假设当时,结论成立,即,
当时,左边
,
而,
令,,
由(Ⅰ)得:在处取得极大值1,且该极值是唯一的,
则,即,当且仅当时取“=”,
则对恒成立,即
成立
故当时,结论成立,
因此,综合(1)(2)得,对恒成立
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的应用,通常需要对函数求导,由导数的方法研究函数的单调*和极值等,属于常考题型.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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