如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB...
问题详情:
如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求*:PC是⊙O的切线;
(2)求∠P的度数;
(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,AB=4,求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积。
【回答】
解:(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线 ………………………4分
(2)∵PC=AC ∴∠A=∠P
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∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°
∴3∠P=90°
∴∠P=30° …………………………6分
(3) ∵点M是半圆O的中点 ∴∠BCM=45°………7分
由(2)知∠BMC=∠A=∠P=30°∴BC=AB=2 ……8分
作BD⊥CM于D,∴CD=BD= ∴DM=
∴CM= …………………9分
∴S△BCM= ………………10分
∵∠BOC=2∠A=60° ∴弓形BmC的面积= …………11分
∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为 …………12分
(注:其它解法,请参照给分)
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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