如图,⊙O是△ABC的外接圆,O点在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD,CD.过点D作BC的平行...
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如图,⊙O是△ABC的外接圆,O点在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD,CD.过点D作BC的平行线,与AB的延长线相交于点P.
(1)求*:PD是⊙O的切线;
(2)求*:△PBD∽△DCA;
(3)当AB=6,AC=8时,求线段PB的长.
【回答】
(1)*:∵圆心O在BC上,
∴BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°.
如解图,连接OD.
第17题解图
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠DAC.
∵∠DOC=2∠DAC,
∴∠DOC=∠BAC=90°.
即OD⊥BC.
∵PD∥BC,
∴OD⊥PD.
又OD是⊙O的半径,
∴PD是⊙O的切线;
(2)*:∵PD∥BC,
∴∠P=∠ABC.
又∠ABC=∠ADC,
∴∠P=∠ADC.
∵∠PBD+∠ABD=180°,∠ACD+∠ABD=180°,
∴∠PBD=∠ACD.
∴△PBD∽△DCA;
(3)解:∵△ABC是直角三角形,
∴BC2=AB2+AC2=62+82=100.
∴BC=10.
∵OD垂直平分BC,
∴DB=DC.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BDC=90°.
在等腰直角三角形BDC中.DC=DB=5.
∵△PBD∽△DCA,
∴=,
即PB===.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:综合题
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