已知函数.(1)讨论f(x)的单调*,并*f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,*曲...
问题详情:
已知函数.
(1)讨论f(x)的单调*,并*f(x)有且仅有两个零点;
(2)设x0是f(x)的一个零点,*曲线y=ln x 在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线的切线.
【回答】
(1)函数在和上是单调增函数,*见解析;
(2)*见解析.
【分析】
(1)对函数求导,结合定义域,判断函数的单调*;
(2)先求出曲线在处的切线,然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时,*曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.
【详解】
(1)函数的定义域为,
,因为函数的定义域为,所以,因此函数在和上是单调增函数;
当,时,,而,显然当,函数有零点,而函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点;
当时,,
因为,所以函数在必有一零点,而函数在上是单调递增,故当时,函数有唯一的零点
综上所述,函数的定义域内有2个零点;
(2)因为是的一个零点,所以
,所以曲线在处的切线的斜率,故曲线在处的切线的方程为:而,所以的方程为,它在纵轴的截距为.
设曲线的切点为,过切点为切线,,所以在处的切线的斜率为,因此切线的方程为,
当切线的斜率等于直线的斜率时,即,
切线在纵轴的截距为,而,所以,直线的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此直线重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线.
【点睛】
本题考查了利用导数求已知函数的单调*、考查了曲线的切线方程,考查了数学运算能力.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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