已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是　　

问题详情：

 已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是　　

【回答】

a＜-2当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；

当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：

∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，

不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．

当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：

而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，

∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）=a（）3﹣3（）2+1＞0，

化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．

知识点：函数的应用

题型：填空题