在平面直角坐标系中,点 A(－2,0),B(2,0),C(0,2),点 D,点E分别是 AC,BC的中点,将△...

问题详情：

在平面直角坐标系中,点 A(－2,0),B(2,0),C(0,2),点 D,点E分别是 AC,BC的中点,将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′,旋转角为α,连接 AD′,BE′. (Ⅰ)如图①,若 0°＜α＜90°,当 AD′∥CE′时,求α的大小; (Ⅱ)如图②,若 90°＜α＜180°,当点 D′落在线段 BE′上时,求 sin∠CBE′的值; (Ⅲ)若直线AD′与直线BE′相交于点P,求点P的横坐标m的取值范围.

【回答】

解:(Ⅰ)如解图①,∵A(-2,0),B(2,0),C(0,2),

∴OA=OB=OC,∴∠ACB=90°,

∵△CD′E′是△CDE旋转得到的,

∴∠D′CE′=90°, ∵AD′∥CE′,∴∠AD′C=∠D′CE′=90°,

∵D为AC的中点,∴CD=AC,

∵CD=CD′,∴CD′=AC, 在Rt△ACD′中,cosα==, ∴α=60°; (Ⅱ)设F为D′E′的中点，连接CF,如解图②,

∵CD′=CE′,∠E′CD′=90°,

∴CF⊥BE′,CF=D′E′=1, 又∵BC==2, ∴在Rt△BCF中,sin∠CBE′=; (Ⅲ)如解图③中,以C为圆心,CD′为半径作⊙C,当BE′与⊙C相切时AP最长,则四边形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB于H. ∵CD′=CD=AC=,

∴⊙C的半径为,

∵在Rt△ACD′中,AD′=,

∴AP=AD′＋PD′=＋, ∵cos∠PAB=,∴AH=2＋, ∴点P横坐标的最大值为. 如解图④中,当BE′与⊙C相切时AP最短,则四边形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB于H. 根据对称*可知OH=, ∴点P横坐标的最小值为－, ∴点P横坐标的取值范围为－≤m≤.

     图①             图②

      图③           图④

知识点：图形的旋转

题型：综合题