如图.在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,－4),C是x轴上一动点,过C作CD∥AB交y轴于点D.(Ⅰ...

问题详情：

如图.在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,－4),C是x轴上一动点,过C作CD∥AB交y轴于点D. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若以A,B,C,D为顶点的四边形的面积等于54,求点C的坐标; (Ⅲ)将△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AO′B′,设D的坐标为(0,n),当点D落在△AO′B′内部(包括边界)时,求n的取值范围.(直接写出*即可)

【回答】

解:(Ⅰ)∵点A的坐标是(3,0),B的坐标是(0,－4), ∴OA=3,OB=4. ∵CD∥AB, ∴△AOB∽△COD, ∴; (Ⅱ)设OC=3x,则OD=4x, 则AC=3＋3x,BD=4＋4x, 当点C在x轴负半轴上时: ∵四边形ABCD的面积是54, ∴AC•BD=54,即(3＋3x)(4＋4x)=54, 解得:x=2或－4(舍去). 则点C的坐标是(－6,0); 当点C在x轴的正半轴上时,

S四边形ABCD=×3x•4x－×3×4=54, 解得:x=或x=－(舍去). 则点C的坐标是(3,0); (Ⅲ)O′的坐标是(3,3), 则O′B′与y轴的交点坐标是(0,3); 则B′的坐标是(－1,3). 设AB′的解析式是y=kx＋b, 根据题意得:, 解得:, 则函数的解析式是y=－x＋, 当x=0时,y=.即直线AB′与y轴的交点是(0,). 则n的范围是≤n≤3.

知识点：相似三角形

题型：解答题