某生产旅游纪念品的工厂,拟在2017年度进行系列促销活动,经市场调查和测算,该纪念品的年销售量 (单位:万件)...
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某生产旅游纪念品的工厂,拟在2017年度进行系列促销活动,经市场调查和测算,该纪念品的年销售量 (单位:万件)与年促销费用(单位:万元)之间满足 于 成反比例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件.已知加工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元,没生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用) (Ⅰ)请把该工厂2017年的年利润 (单位:万元)表示成促销费(单位:万元)的函数; (Ⅱ)试问:当2017年的促销费投入多少万元时,该工程的年利润最大?
【回答】
解:(Ⅰ)设反比例系数为 ( ).由题意有 .
又 时, ,所以 , ,
则 与的关系是 ( ),
依据题意,可知工厂生产 万件纪念品的生产成本为 万元,促销费用为万元,则每件纪念品的定价为 元/件,
于是 ,进一步化简,得 ( ).
因此工厂2017年的利润为 ( ).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ( ) ,
当且仅当 ,即 时取等号,
所以当2017年的促销费用投入7万元时,工厂的年利润最大,最大利润为42万元.
【解析】 (1)根据反比例函数的定义结合同意代入数值求出k的值,进而通过x表示出年利润y的代数式,对其化简整理即可得到函数式。(2)根据题意利用基本不等式求出最值即可。
知识点:函数的应用
题型:解答题
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