某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品，若该商品的售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位...

问题详情：

某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品，若该商品的售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.问该商品零售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？

【回答】

解：设利润为L(p)，由题意可得

L(p)＝(p－20)·Q＝(p－20)(8 300－170p－p2)

＝－p3－150p2＋11 700p－166 000(p＞0)，

所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.

令L′(p)＝0，得p＝30或p＝－130(舍去)．

则L(30)＝23 000.

因为0＜p＜30时，L′(p)＞0；p＞30时，L′(p)＜0，

所以p＝30时，L(p)取得极大值．根据实际问题的意义知，L(30)就是最大值，即零售价定为每件30元时，利润最大，最大利润为23 000元．

知识点：导数及其应用

题型：解答题