如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦.过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连接AC,过点C作CD∥A...
问题详情:
如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦.过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连接AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.
(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=9,BC=6.求PC的长.
【回答】
(1)解:PC与圆O相切,理由为: 过C点作直径CE,连接EB,如图, ∵CE为直径, ∴∠EBC=90°,即∠E+∠BCE=90°, ∵AB∥DC, ∴∠ACD=∠BAC, ∵∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD. ∴∠E=∠BCP, ∴∠BCP+∠BCE=90°,即∠PCE=90°, ∴CE⊥PC, ∴PC与圆O相切; (2)解:∵AD是⊙O的切线,切点为A, ∴OA⊥AD, ∵BC∥AD, ∴AM⊥BC, ∴BM=CM= BC=3, ∴AC=AB=9, 在Rt△AMC中,AM= =6 , 设⊙O的半径为r,则OC=r,OM=AM﹣r=6 ﹣r, 在Rt△OCM中,OM2+CM2=OC2 , 即32+(6 ﹣r)2=r2 , 解得r= , ∴CE=2r= ,OM=6 ﹣ = , ∴BE=2OM= , ∵∠E=∠MCP, ∴Rt△PCM∽Rt△CEB, ∴ = , 即 = , ∴PC= . 【考点】切线的判定与*质 【解析】【分析】(1)过C点作直径CE,连接EB,由CE为直径得∠E+∠BCE=90°,由AB∥DC得∠ACD=∠BAC,而∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD,所以∠E=∠BCP,于是∠BCP+∠BCE=90°,然后根据切线的判断得到结论;(2)根据切线的*质得到OA⊥AD,而BC∥AD,则AM⊥BC,根据垂径定理有BM=CM= BC=3,根据等腰三角形*质有AC=AB=9,在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6 ;设⊙O的半径为r,则OC=r,OM=AM﹣r=6 ﹣r,在Rt△OCM中,根据勾股定理计算出r= ,则CE=2r= ,OM=6 ﹣ = ,利用中位线*质得BE=2OM= ,然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB,根据相似比可计算出PC.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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