已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.(Ⅰ)过原点O(0,0)作圆C的切线,切点分别为H、K,求直线HK的...
问题详情:
已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.
(Ⅰ)过原点O(0,0)作圆C的切线,切点分别为H、K,求直线HK的方程;
(Ⅱ)设定点M(-3,8),动点N在圆C上运动,以CM,CN为领边作平行四边形MCNP,求点P的轨迹方程;
(Ⅲ)平面上有两点A(1,0),B(-1,0),点P是圆C上的动点,求|AP|2+|BP|2的最小值;
(Ⅳ)若Q是x轴上的动点,QR,QS分别切圆C于R,S两点.试问:直线RS是否恒过定点?若是,求出定点坐标,若不是,说明理由.
【回答】
【详解】(Ⅰ)由圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,得圆心C(3,4),
则以OC为直径的圆的方程为,
联立,得3x+4y-21=0.
∴直线HK的方程为3x+4y-21=0;
(Ⅱ)设P(x,y),圆上的动点N(x0,y0),则
线段CP的中点坐标为(,),线段MN的中点坐标为(,),
又∵平行四边形的对角线互相平分,
∴=,=,
可得x0=x+6,y0=y-4.
∵N(x0,y0),即N(x+6,y-4)在圆上,
∴N点坐标应满足圆的方程,
则点P的轨迹方程为:(x+3)2+(y-8)2=4(x);
(Ⅲ)设P(x,y),由两点间的距离公式知:|AP|2+|BP|2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2.
又P为圆上的点,∴|OP|min=|OC|-r=-2=3,
∴(|AP|2+|BP|2)min=20;
(Ⅳ)由题意∠CSQ=∠CRQ=,则R,S在以QC为直径的圆上,
设Q(a,0),则以QC为直径的圆的方程:(x-)2+(y-2)2=,
即x2+y2-(a+3)x-4y+3a=0,
与圆C:x2+y2-6x-8y+21=0联立得:-a(x-3)+3x+4y-21=0,
故无论a取何值时,直线RS恒过定点(3,3).
知识点:圆与方程
题型:综合题
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