已知圆C经过两点P（–1，–3），Q（–3，1），且圆心在直线x+2y–4=0上，直线l的方程为（k–1）x+...

问题详情：

已知圆C经过两点P（–1，–3），Q（–3，1），且圆心在直线x+2y–4=0上，直线l的方程为（k–1）x+2y+5–3k=0．

（1）求圆C的方程；

（2）*：直线l与圆C恒相交；

（3）求直线l被圆C截得的弦长的取值范围．

【回答】

【解析】（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

由已知得，，解得

∴x2+y2–4x–2y–20=0．（4分）

（2）∵直线l的方程为（k–1）x+2y+5–3k=0．

可得，k（x–3）–（x–2y–5）=0，

令可得x=3，y=–1，

∴直线l过定点M（3，–1），由32+（–1）2–4×3–2×（–1）–20<0可知M在圆内，

∴直线l与圆C恒相交．（8分）

（3）圆心C（2，1），半径5，由题意可知，当M满足CM⊥l时，弦长最短，

直线l被圆C截得的最短弦长为2，=4，

最长弦长为直径10，

故弦长的范围[4，10]．（12分）

知识点：圆与方程

题型：解答题