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已知过原点O的两直线与圆心为M(0,4),半径为2的圆相切,切点分别为P、Q,PQ交y轴于点K,抛物线经过P、Q两点,顶点为N(0,6),且与x轴交于A、B两点. (1)求点P的坐标; (2)求抛物线解析式; (3)在直线y=nx+m中,当n=0,m≠0时,y=m是平行于x轴的直线,设直线y=m与抛物线相交于点C、D,当该直线与⊙M相切时,求点A、B、C、D围成的多边形的面积(结果保留根号).
【回答】
(1)如图1, ∵⊙M与OP相切于点P, ∴MP⊥OP,即∠MPO=90°. ∵点M(0,4)即OM=4,MP=2, ∴OP=2 . ∵⊙M与OP相切于点P,⊙M与OQ相切于点Q, ∴OQ=OP,∠POK=∠QOK. ∴OK⊥PQ,QK=PK. ∴PK= . ∴OK= =3. ∴点P的坐标为( ,3). (2)如图2, 设顶点为(0,6)的抛物线的解析式为y=ax 2 +6, ∵点P( ,3)在抛物线y=ax 2 +6上, ∴3a+6=3. 解得:a=1. 则该抛物线的解析式为y=x 2 +6. (3)当直线y=m与⊙M相切时, 则有 =2. 解得;m 1 =2,m 2 =6. ①m=2时,如图3, 则有OH=2. 当y=2时,解方程x 2 +6=2得:x=±2, 则点C(2,2),D(2,2),CD=4. 同理可得:AB=2 . 则S 梯形ABCD = (DC+AB)OH= ×(4+2 )×2=4+2 . ②m=6时,如图4, 此时点C、点D与点N重合. S △ABC = ABOC= ×2 ×6=6 . 综上所述:点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2 或6 .
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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