如图,已知直线与x、y轴交于A、B两点,的半径为1,P为上一动点,切于Q点.当线段长取最小值时,直线交y轴于M...
问题详情:
如图,已知直线与x、y轴交于A、B两点,的半径为1,P为上一动点,切于Q点.当线段长取最小值时,直线交y轴于M点,a为过点M的一条直线,则点P到直线a的距离的最大值为______________.
【回答】
【解析】
先找到长取最小值时P的位置即为OP⊥AB时,然后画出图形,由于PM即为P到直线a的距离的最大值,求出PM长即可.
【详解】
解:如图,
在直线上,x=0时,y=4,y=0时,x=,
∴OB=4,OA=,
∴,
∴∠OBA=30°,
由切于Q点,可知OQ⊥PQ,
∴,
由于OQ=1,因此当OP最小时长取最小值,此时OP⊥AB,
∴,此时,,
∴,即∠OPQ=30°,
若使P到直线a的距离最大,则最大值为PM,且M位于x轴下方,
过P作PE⊥y轴于E,
,,
∴,
∵,∴∠OPE=30°,
∴∠EPM=30°+30°=60°,即∠EMP=30°,
∴,
故*为:.
【点睛】
本题考查了圆和函数的综合问题,题解题中含义找到P点的位置是解题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:填空题
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