.设函数。(1)若在区间上存在单调递减区间,求的取值范围;(2)当时,在区间上的最大值为15,求在区间上的最小...
问题详情:
.设函数。
(1)若在区间上存在单调递减区间,求的取值范围;
(2)当时,在区间上的最大值为15,求在区间上的最小值。
【回答】
(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)求出导函数,利用f(x)在区间上存在单调递减区间,转化为导函数在上存在函数值小于零的区间,列出不等式求解a的范围即可.
(2)判断导函数的开口方向,对称轴,利用函数f(x)的上单调*,求出a,然后求解最小值.
【详解】解:(1)函数,a∈R.
可得.
由条件f(x)在区间上存在单调递减区间,知导函数在上存在函数值小于零的区间,
只需 ,解得 ,
故a的取值范围为.
(2)的图象开口向上,且对称轴x=﹣1,
f′(0)=a<0,f′(3)=9+6+a=15+a>0,
所以必存在一点x0∈(0,3),使得f′(x0)=0,
此时函数f(x)在[0,x0]上单调递减,
在[x0,3]单调递增,又由于f(0)=0,f(3)=9+9+a=18+3a>0=f(0)
所以f(3)=18+3a=15,即a=﹣1,此时,
由 ,
所以函数 .
【点睛】本题考查函数的导数的应用,导函数的*质,函数的最值的求法,考查分析问题解决问题的能力.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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