已知函数.(1)当a=1时,求在时的最小值;(2)若存在单调递减区间,求a的取值范围;(3)求*:.
问题详情:
已知函数.
(1)当a =1时,求在时的最小值;
(2)若存在单调递减区间,求a的取值范围;
(3)求*:.
【回答】
解:(1)的定义域为.
∵,
∴在上是增函数.
当时,的最小值为;(3分)
(2)∵
∵若存在单调递减区间,
∴有正数解.即有的解.(5分)
①当时,明显成立.
②当时,为开口向下的抛物线,故总有的解;
③当时,为开口向上的抛物线,
故方程必须有正根
∵,∴方程有两正根
∴,解得.
综合①②③知:.(9分)
(3)(法一)根据(1)的结论,当时,,即
令,则有
∴.(12分)
(法二)①当n=1时,ln(n+1)=ln2.
∵3ln2=ln8>1,∴,即n=1时命题成立.
②设当n=k时,命题成立,即.
∴当n=k+1时,
根据(1)的结论,当时,,即.
令,则有,
则有,即n=k+1时命题也成立.
因此,由数学归纳法可知不等式成立.(12分)
点评:本题考查利用导数研究函数的单调*及数学归纳法,难点之一在于(2)中通过求 后,转化为“有的解”的问题,再用分类讨论思想来解决;难点之二在于(3)中法一通过构造函数,用放缩法*得结论,法二通过数学归纳法,其中也有构造函数的思想,属于难题.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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