已知函数.(1)求的单调递减区间;(2)若在区间上的最大值是,求它在该区间上的最小值.
问题详情:
已知函数.
(1)求的单调递减区间;
(2)若在区间上的最大值是,求它在该区间上的最小值.
【回答】
解:(Ⅰ)f′(x)=﹣3x2+6x+9.
令f′(x)<0,解得x<﹣1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1),(3,+∞).
(Ⅱ)因为f(﹣2)=8+12﹣18+a=2+a,f(2)=﹣8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(﹣2).
因为在(﹣1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[﹣1,2]上单调递增,
又由于f(x)在[﹣2,﹣1]上单调递减,
因此f(2)和f(﹣1)分别是f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=﹣2.
故f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,因此f(﹣1)=1+3﹣9﹣2=﹣7,
即函数f(x)在区间[﹣2,2]上的最小值为﹣7.
点评:本题主要考查导函数的正负与原函数的单调*之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.以及在闭区间上的最值问题等基础知识,同时考查了分析与解决问题的综合能力.
【此处有视频,请去附件查看】
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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