已知关于x的函数与在区间D上恒有.(1)若,求h(x)的表达式;(2)若,求k的取值范围;(3)若求*:.
问题详情:
已知关于x的函数与在区间D上恒有.
(1)若,求h(x)的表达式;
(2)若,求k的取值范围;
(3)若求*:.
【回答】
(1);(2);(3)*详见解析
【解析】
【分析】
(1)求得与的公共点,并求得过该点的公切线方程,由此求得的表达式.
(2)先由,求得的一个取值范围,再由,求得的另一个取值范围,从而求得的取值范围.
(3)先由,求得的取值范围,由方程的两个根,求得的表达式,利用导数*得不等式成立.
【详解】(1)由题设有对任意的恒成立.
令,则,所以.
因此即对任意的恒成立,
所以,因此.
故.
(2)令,.
又.
若,则在上递增,在上递减,则,即,不符合题意.
当时,,符合题意.
当时, 在上递减,在上递增,则,
即,符合题意.
综上所述,.
由
当,即时,在为增函数,
因为,
故存在,使,不符合题意.
当,即时,,符合题意.
当,即时,则需,解得.
综上所述,的取值范围是.
(3)因为对任意恒成立,
对任意恒成立,
等价于对任意恒成立.
故对任意恒成立
令,
当,,
此时,
当,,
但对任意的恒成立.
等价于对任意的恒成立.
的两根为,
则,
所以.
令,则.
构造函数,,
所以时,,递减,.
所以,即.
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查利用导数*不等式,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.
知识点:高考试题
题型:综合题
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