已知函数.(1)若关于的方程只有一个实数解,求实数的取值范围;(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;(...
问题详情:
已知函数.
(1)若关于的方程只有一个实数解,求实数的取值范围;
(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求函数在区间上的最大值.
【回答】
解:(1)方程,即,变形得,
显然,已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程,
有且仅有一个等于1的解或无解 ,
结合图形得. ……………………4分
(2)不等式对恒成立,即(*)对恒成立,
①当时,(*)显然成立,此时;
②当时,(*)可变形为,令
因为当时,,当时,,
所以,故此时.
综合①②,得所求实数的取值范围是. …………………………………8分
(3)因为=…10分
① 当时,结合图形可知在上递减,在上递增,
且,经比较,此时在上的最大值为.
② 当时,结合图形可知在,上递减,
在,上递增,且,,
经比较,知此时在上的最大值为.
③ 当时,结合图形可知在,上递减,
在,上递增,且,,
经比较,知此时 在上的最大值为.
④ 当时,结合图形可知在,上递减,
在,上递增,且, ,
经比较,知此时 在上的最大值为.
当时,结合图形可知在上递减,在上递增,
故此时 在上的最大值为.
综上所述,当时,在上的最大值为;
当时, 在上的最大值为;
当时, 在上的最大值为0.
知识点:不等式
题型:解答题
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