已知函数.(1)当时,求*:;(2)当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)若,*.
问题详情:
已知函数.
(1)当时,求*:;
(2)当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)若,*.
【回答】
【解析】
分析:(1)先利用导数求函数,再*. (2)把不等式恒成立转化为≥0,再利用导数求即得a的取值范围. (3)利用第(2)问的结论和分析法*.
详解:(1)当时,,,
当时,;当时,
故在上单调递减,在上单调递增,
,.
(2),令,则.
①当时,在上,,单调递增,,即,在上为增函数,
,当时满足条件.
②当时,令,解得,在上,,单调递减,
当时,有,即在上为减函数,,不合题意.
综上,实数的取值范围为.
(3)由(2)得,当,时,,即=,
欲*不等式,
只需*,
只需*,
只需* ,
设,则.
当时,恒成立,且,恒成立.
原不等式得*.
点睛:本题的难点在第(3)问,直接*比较困难.难点一是这里要注意观察利用第(2)问的结论,难点二是要运用分析法来分析转化命题.难点三是要构造函数.本题意在考查利用导数解答函数问题的综合能力,属于难题.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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