已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.（1）求函数在点处的切线方程；（2）判断函数零点个数;（3）用表示的...

问题详情：

已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）判断函数零点个数;

（3）用表示的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．

【回答】

【详解】

（1）∵，∴切线的斜率，.

∴函数在点处的切线方程为.……………………3分

（2）∵，，∴，，，……………………5分

∴存在零点，且.∵，

∴当时，；当时，由得

.∴在上是减函数.

∴若，，，则.∴函数只有一个零点，且.……………………8分

（3），故，……………9分

∵函数只有一个零点，∴，即.∴.

∴在为增函数在，恒成立. ………………10分

当时，即在区间上恒成立.

设，只需，

，在单调递减，在单调递增.

的最小值，.

当时，，由上述得，则在恒成立. ……………………12分

综上述，实数的取值范围是.

知识点：导数及其应用

题型：解答题