已知定义域为R的函数是奇函数(1)求a值;(2)判断并*该函数在定义域R上的单调*;(3)若对任意的t∈R,...
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已知定义域为R的函数是奇函数 (1)求a值; (2)判断并*该函数在定义域R上的单调*; (3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围; (4)设关于x的函数F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零点,求实数b的取值范围.
【回答】
解:(1)由题设,需,∴a=1, ∴, 经验*,f(x)为奇函数, ∴a=1. (2)减函数 *:任取x1,x2∈R,x1<x2,△x=x2-x1>0, f(x2)-f(x1)=- =, ∵x1<x2 ∴0<<; ∴-<0,(1+)(1+)>0 ∴f(x2)-f(x1)<0 ∴该函数在定义域R 上是减函数. (3)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0得f(t2-2t)<-f(2t2-k), ∵f(x)是奇函数,∴f(t2-2t)<f(k-2t2), 由(2)知,f(x)是减函数 ∴原问题转化为t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0 对任意t∈R 恒成立, ∴=4+12k<0,得即为所求. (4)原函数零点的问题等价于方程f(4x-b)+f(-2x+1)=0有解, 由(3)知,4x-b=2x+1,即方程b=4x-2x+1有解 ∴4x-2x+1=(2x)2-2×2x=(2x-1)2-1≥-1,∴当b∈[-1,+∞)时函数存在零点.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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