已知定义域为的函数是奇函数.(1)求,的值;(2)用定义*在上为减函数;(3)若对于任意,不等式恒成立,求的...
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已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求,的值;
(2)用定义*在上为减函数;
(3)若对于任意,不等式恒成立,求的范围.
【回答】
(1),;(2)*见解析;(3).
【解析】
(1)根据奇函数定义,利用且,列出关于、的方程组并解之得;
(2)根据函数单调*的定义,任取实数、,通过作差因式分解可*出:当时,,即得函数在上为减函数;
(3)根据函数的单调*和奇偶*,将不等式转化为:对任意的都成立,结合二次函数的图象与*质,可得的取值范围.
【详解】
解:(1)为上的奇函数,,可得
又(1)
,解之得
经检验当且时,,满足是奇函数.
(2)由(1)得,
任取实数、,且
则
,可得,且
,即,函数在上为减函数;
(3)根据(1)(2)知,函数是奇函数且在上为减函数.
不等式恒成立,即
也就是:对任意的都成立.
变量分离,得对任意的都成立,
,当时有最小值为
,即的范围是.
【点睛】
本题以含有指数式的分式函数为例,研究了函数的单调*和奇偶*,并且用之解关于的不等式,考查了基本初等函数的简单*质及其应用,属于中档题.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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