已知函数有且只有一个零点，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，有成立，求实数的最大值；（Ⅲ）设，对任意,*...

问题详情：

已知函数有且只有一个零点，其中．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的，有成立，求实数的最大值；

（Ⅲ）设，对任意, *：不等式恒成立．

【回答】

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣a，+∞），．

由f'（x）=0，得x=1﹣a＞﹣a．

∵当﹣a＜x＜1﹣a时，f'（x）＞0；当x＞1﹣a时，f'（x）＜0，

∴f（x）在区间（﹣a，1﹣a]上是增函数，在区间[1﹣a，+∞）上是减函数，

∴f（x）在x=1﹣a处取得最大值．

由题意知f（1﹣a）=﹣1+a=0，解得a=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）﹣x，

当k≥0时，取x=1得，f（1）=ln2﹣1＜0，知k≥0不合题意．

当k＜0时，设g（x）=f（x）﹣kx2=ln（x+1）﹣x﹣kx2．

则

令g/（x）=0，得x1=0，．

①若≤0，即k≤﹣时，g'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，

∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，从而总有g（x）≥g（0）=0，

即f（x）≥kx2在[0，+∞）上恒成立．

②若，即时，对于，g'（x）＜0，

∴g（x）在上单调递减．

于是，当取时，g（x0）＜g（0）=0，即f（x0）≥不成立．

故不合题意．

综上，k的最大值为．

（Ⅲ） 由h（x）=f（x）+x=ln（x+1）．

不妨设x1＞x2＞﹣1，则要*，

只需*，

即*，

即*．

设，则只需*，

化简得．

设，则，

∴φ（t）在（1，+∞）上单调递增，

∴φ（t）＞φ（1）=0．

即，得*．

故原不等式恒成立．

知识点：函数的应用

题型：解答题