设函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，试判断零点的个数；（Ⅲ）当时，若对，都有（）成立，求的最大值.

问题详情：

设函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，试判断零点的个数；

（Ⅲ）当时，若对，都有（）成立，求的最大值.

【回答】

（1）当时，的单减区间为；当时，的单减区间为，单增区间为；（2）两个；（3）0.

【分析】

（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）当时，由（1）可知，在是单减函数，在是单增函数，由，，利用零点存在定理可得结果；（3）当，为整数，且当时，恒成立，，利用导数求出的取值范围，从而可得结果.

【详解】

（1），

. 

当时，在恒成立，

在是单减函数. 

当时，令，解之得.

从而，当变化时，，随的变化情况如下表：

由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数. 

综上，当时，的单减区间为；

当时，的单减区间为，单增区间为. 

（2）当时，由（1）可知，在是单减函数，在是单增函数；

又，，. 

，；

故在有两个零点. 

（3）当，为整数，且当时，恒成立

.

令，只需；

又，

由（2）知，在有且仅有一个实数根，

在上单减，在上单增；

又，，

，且，

即代入式，得

.

而在为增函数，，

即.

而，，

即所求的最大值为0.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调*、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调*有机结合，设计综合题.

知识点：导数及其应用

题型：解答题