已知函数(1)当时,求函数的单调区间;(2)若恒成立,求的最小值.
问题详情:
已知函数
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若恒成立,求的最小值.
【回答】
【解析】(Ⅰ)当a=1时,f(x)=(2x2+x)lnx﹣3x2﹣2x+b(x>0).
f′(x)=(4x+1)(lnx﹣1),令f′(x)=0,得x=e.
x∈(0,e)时,f′(x)<0,∈(e,+∞)时,f′(x)>0.
函数f(x)的单调增区间为(e,+∞),减区间为(0,e); 6分
(Ⅱ)由题意得f′(x)=(4x+1)(lnx﹣a),(x>0).
令f′(x)=0,得x=ea.x∈(0,e a)时,f′(x)<0,∈(ea ,+∞)时,f′(x)>0.
函数f(x)的单调增区间为(ea,+∞),减区间为(0,ea)
∴f(x)min=f(ea)=﹣e2a﹣ea+b,
∵f(x)≥0恒成立,∴f(ea)=﹣e2a﹣ea+b≥0,则b≥e2a+ea.∴b﹣a≥e2a+ea﹣a
令ea=t,(t>0),∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt,设g(t)=t2+t﹣lnt,(t>0),g′(t)=.
当t∈(0,)时,g′(t)<0,当时,g′(t)>0.
∴g(t)在(0,)上递减,在(,+∞)递增.
∴g(t)min=g()=.f(x)≥0恒成立,b﹣a的最小值为. 12分
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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