已知函数,,,令.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值.
问题详情:
已知函数,,,令.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值.
【回答】
解:(1)定义域为,
①当时恒成立,在上是增函数.
②当时令
令
增区间: ,减区间: …… 6分
(2)法一:令.
所以.
当时,因为,所以所以在上是递增函数,
又因为.所以关于的不等式不能恒成立.
当时,.令得,
所以当时,;当时,,
因此函数在是增函数,在是减函数.
故函数的最大值为.
令,因为,,
又因为在上是减函数,所以当时,.
所以整数的最小值为2. …… 12分
法二:由恒成立知恒成立,
令,则,
令,因为,,则为增函数.
故存在,使,即,
当时,,为增函数,当时,,为减函数.
所以,
而,所以,所以整数的最小值为2.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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