已知函数.(1)若,求函数的零点;(2)设函数,若对任意,,,满足,求实数a的取值范围.
问题详情:
已知函数.
(1)若,求函数的零点;
(2)设函数,若对任意,,,满足,求实数a的取值范围.
【回答】
(1)
(2)
【解析】
(1)函数的零点即方程的根,将代入方程求解即可;
(2)由题意有在单调递增,再分别讨论二次函数的开口方向,对称轴与区间的位置关系,结合函数的单调*及最值运算即可得解.
【详解】解:(1)当时,
令得,
则函数的零点是.
(2)由对任意,,,满足,可得在单调递增,
①当时,,对称轴为
又因为且在单调递减,且,
所以在单调递增,
②当时,,在单调递减,且,
所以在单调递增,
③当时,,对称轴为,
所以在单调递减,要使在单调递增.
不符合,舍去;
④当时,,对称轴为,可知在不单调增,
⑤当时,,对称轴为
所以在单调递增,
则在单调递增,故满足题意;
综上所述,a取值范围为.
【点睛】本题考查了函数与方程相互转化,重点考查了二次函数的单调*及最值,属综合*较强的题型.
知识点:函数的应用
题型:综合题
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