已知函数1)求函数的极值;2)若,且对任意恒成立,求实数的最大值;
问题详情:
已知函数
1)求函数的极值;
2)若,且对任意恒成立,求实数的最大值;
【回答】
解:1)∵f(x)=ln(x+1)﹣x, ∴f′(x)=﹣1=﹣,
∴当x∈(﹣1,0)时,f′(x)>0; 当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0;
故当时,f(x)有极大值为0,无极小值。
2)∵f(x﹣1)+x>k(1﹣), ∴lnx﹣(x﹣1)+x>k(1﹣),
∴lnx+1>k(1﹣), 即xlnx+x﹣kx+3k>0,
令g(x)=xlnx+x﹣kx+3k, 则g′(x)=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k,
∵x>1, ∴lnx>0,
若k≤2,g′(x)>0恒成立,
即g(x)在(1,+∞)上递增; ∴g(1)=1+2k≥0, 解得,k≥﹣;
故﹣≤k≤2, 故k的最大值为2;
若k>2,由lnx+2﹣k>0解得x>ek﹣2,
故g(x)在(1,ek﹣2)上单调递减,在(ek﹣2,+∞)上单调递增;
∴gmin(x)=g(ek﹣2)=3k﹣ek﹣2,
令h(k)=3k﹣ek﹣2,h′(k)=3﹣ek﹣2,
∴h(k)在(1,2+ln3)上单调递增,在(2+ln3,+∞)上单调递减;
∵h(2+ln3)=3+3ln3>0,h(4)=12﹣e2>0,h(5)=15﹣e3<0;
∴k的最大取值为4,
综上所述,k的最大值为4.
3)假设存在这样的x0满足题意,
∵e<1﹣x02, ∴x02+﹣1<0,
令h(x)=x2+﹣1, ∵h′(x)=x(a﹣),
令h′(x)=x(a﹣)=0得ex=, 故x=﹣lna,取x0=﹣lna,
在0<x<x0时,h′(x)<0,当x>x0时,h′(x)>0;
∴hmin(x)=h(x0)=(﹣lna)2﹣alna+a﹣1,
在a∈(0,1)时,令p(a)=(lna)2﹣alna+a﹣1, 则p′(a)=(lna)2≥0,
故p(a)在(0,1)上是增函数, 故p(a)<p(1)=0,
即当x0=﹣lna时符合题意.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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