已知函数()的图象在处的切线为(为自然对数的底数)(1)求的值;(2)若,且对任意恒成立,求的最大值.
问题详情:
已知函数()的图象在处的切线为(为自然对数的底数)
(1)求的值;
(2)若,且对任意恒成立,求的最大值.
【回答】
(1)a=-1,b=1;(2)-1.
【解析】(1)对求导得,根据函数的图象在处的切线为,列出方程组,即可求出的值;(2)由(1)可得,根据对任意恒成立,等价于对任意恒成立,构造,求出的单调*,由, , , ,可得存在唯一的零点,使得,利用单调*可求出,即可求出的最大值.
(1), .
由题意知.
(2)由(1)知: ,
∴对任意恒成立
对任意恒成立
对任意恒成立.
令,则.
由于,所以在上单调递增.
又, , , ,
所以存在唯一的,使得,且当时, , 时, . 即在单调递减,在上单调递增.
所以.
又,即,∴.
∴.
∵,∴ .
又因为对任意恒成立,
又,∴ .
点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调*,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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