已知(1)讨论函数的极值;.(2)若对,其中为自然对数的底数,使得恒成立,求实数的取值范围.
问题详情:
已知
(1)讨论函数的极值;.
(2)若对,其中为自然对数的底数,使得恒成立,求实数的取值范围.
【回答】
(1)*见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)求出函数的定义域和导数,分,两种情况进行讨论,结合导数,即可求出函数的极值.
(2) 设,分,,三种情况进行讨论,结合导数求出每种情况下函数的单调*,即可求出函数的最值,令最大值小于0即可求出实数的取值范围.
【详解】
(1)函数的定义域为,,
当时,,故的单调递减,无极值;
当时,令,得,则时,,单调递增,时,,单调递减,
综上所述,当时,在处取得极大值,无极小值.
当时,无极值.
(2)由题意知,恒成立,设,
则只需在上的最大值小于零,,
令,得(舍去)或.
①当,即时,在上单调递增,
故在上取得最大值,由,得,
解得,又,故,所以.
②当,即时,在上单调递减,
故在上取得最大值,由,得.
③当,即时,在上单调递增,
在上单调递减,故在上取得最大值,
又,,所以,,故,
综上,实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的极值,考查了利用导数求函数的最值,考查了利用导数解决不等式恒成立问题,属于难题.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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