已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)是否存在...
问题详情:
已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【回答】
解:(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,
所以p=2. ----------------------2分
故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1. --------------4分
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,----------------------5分
由得y2+2y-2t=0. ---------------------7分
因为直线l与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-. ---------------------8分
另一方面,由直线OA与l的距离d=,
可得=,解得t=±1. ----------------------10分
因为-1∉,1∈,
所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0. ---------------------12分
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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