如图，在四棱锥中，是平行四边形，，，，，，分别是，的中点．（Ⅰ）*：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．

问题详情：

如图，在四棱锥中，是平行四边形，，，

，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）*：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

【回答】

解法一：（Ⅰ）取中点，连

，∵，∴，

∵是平行四边形，，

，∴，   

∴是等边三角形，∴，

∵，∴平面， ∴.        ………………………3分

∵分别是的中点，∴∥，∥，

∴，，∵，∴平面，…………………5分

∵平面，∴平面平面. …………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∴是二面角的平面角. …………………………………………………7分

, ，，……………………………………………9分

在中，根据余弦定理得，,  ………11分

∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分

解法二：（Ⅰ）∵是平行四边形，，

，∴，

∴是等边三角形，∵是的中点，

∴，∵∥，

∴. ………………………………………………………………………………1分

分别以，的方向为轴、轴的正方向，为坐标原点，

如图建立空间直角坐标系.    ……………………………………………………………2分

则，，，，，

设，∵，，解得，，，

∴可得，    ………………………………………………………………4分

∵是的中点，∴，∵，∴，∵，

，∴平面，∵平面，

∴平面平面.…………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设是平面的

法向量，则，∴， …………………………8分

令，则，  ………………………………………………………9分

又是平面的法向量， …………………………………………………10分

∴， ………………………………………………………11分

∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分

注：直接设点，或者说平面，，酌情扣分.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题