如图四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，=2PD=2，． （I）*：； （II）若，求二面角的余弦值．

问题详情：

如图四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，=2PD=2，．

  （I）*：；

  （II）若，求二面角的余弦值．

【回答】

 解析：（I）在△ADB中，∵，=2，

则，由余弦定理得，

BD2=3      ∴ ，

∴ ，即 ，

又   ∵底面，平面，

∴ ，

     又   ∵，是平面内两相交直线（或），

∴ 平面，

∵ 平面，

∴ ．

     （II）由（I）知，DA，DB，DP两两垂直，

       建立空间直角坐标系则

，，，，，

设平面PAB的一个法向量为，

因为 ，，

所以 ，解之，，

所以

由于轴∥平面PCB，设平面PCB的一个法向量可为，

因为 ，所以 ，解之，所以 ）

设二面角的大小为（（此处要看观察）），

因此，COSθ

故二面角的余弦值为．

另解：（II）由（I）知，，又易知，

  且，所以平面，作于，连结，则（图5），

设，则是二面角的平面角，

由于∥，所以平面，

则二面角是直角，

因此，二面角为，由（I）知，，，PD=1，

所以PB=2，√3/2，tanα，，

因此，，故二面角的余弦值为．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题