已知：如图，在▱ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于...

问题详情：

已知：如图，在▱ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．

（1）求*：AE⊥DF；

（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．

【回答】

【考点】平行四边形的*质；垂线；平行线的*质；三角形内角和定理；角平分线的*质；勾股定理．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）根据平行四边形的*质和平行线的*质推出∠ADC+∠DAB=180°，根据角平分线得到∠ADF+∠DAE=（∠ADC+∠DAB）=90°，即可求出结论；

（2）过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，得到平行四边形AEHD，求出DH=AE=4，EH=AD=10，根据平行四边形的*质和平行线的*质推出DC=FC，AB=EB，求出BF、FE、FH的长，根据勾股定理即可求出*．

【解答】（1）*：在▱ABCD中AB∥CD，

∴∠ADC+∠DAB=180°．

∵DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线，

∴∠ADF=∠CDF=∠ADC，∠DAE=∠BAE=∠DAB，

∴∠ADF+∠DAE=（∠ADC+∠DAB）=90°，

∴∠AGD=90°，

∴AE⊥DF；

（2）解：过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，

则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH．

∴DH=AE=4，EH=AD=10．

在▱ABCD中AD∥BC，

∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA．

∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA．

∴DC=FC，AB=EB．

在▱ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6，

∴CF=BE=6，BF=BC﹣CF=10﹣6=4．

∴FE=BE﹣BF=6﹣4=2，

∴FH=FE+EH=12，

在Rt△FDH中，DF===8．

答：DF的长是8．

【点评】本题主要考查对平行四边形的*质，勾股定理，三角形的内角和定理，平行线的*质，角平分线的定义，垂线的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些*质进行*是解此题的关键，题型较好，综合*强．

知识点：平行四边形

题型：解答题