已知抛物线。（1）*：该抛物线与x轴总有两个不同的交点。（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A...

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已知抛物线。

（1）*：该抛物线与x轴总有两个不同的交点。

（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在圆P上。①试判断：不论m取任何正数，圆P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，说明理由； ②若点C关于直线的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为，圆P的半径记为，求的值。

【回答】

（1）*：当抛物线与x轴相交时，令y=0，得： x2+mx-m-4=0 ∴△=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）2 ∵m＞0， ∴（m+4）2＞0， ∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点。（2）解：①令y=x2+mx-2m-4=（x-2）（x+m+2）=0，解得：x1=2，x2=-m-2， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧）， ∴A（2，0），B（-2-m，0）， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴C（0，-2m-4），设⊙P的圆心为P（x0 ， y0），则x0= = ， ∴P（，y0），且PA=PC，则PA2=PC2 ，则解得， ∴P（，）， ∴⊙P与y轴的另一交点的坐标为（0，b）则， ∴b=1， ∴⊙P经过y轴上一个定点，该定点坐标为（0，1） ②由①知，D（0，1）在⊙P上， ∵E是点C关于直线的对称点，且⊙P的圆心P（，）， ∴E（-m，-2m-4）且点E在⊙P上，即D，E，C均在⊙P上的点，且∠DCE=90°， ∴DE为⊙P的直径， ∴∠DBE=90°，△DBE为直角三角形， ∵D（0，1），E（-m，-2m-4），B（-2-m，0）， ∴DB= ， BE= = = ∴BE=2DB，在Rt△DBE中，设DB=x，则BE=2x， ∴DE= = ， ∴△BDE的周长l=DB+BE+DE=x+2x+ = ⊙P的半径r= = ∴ = =

【考点】一元二次方程根的判别式及应用，二次函数图像与坐标轴的交点问题，两点间的距离，勾股定理，圆周角定理

【解析】【分析】（1）当抛物线与x轴相交时，即y=0，根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）2＞0，从而得出该抛物线与x轴总有两个不同的交点. （2）①抛物线与x轴的两个交点，即y=0，因式分解得出A（2，0），B（-2-m，0）；抛物线与y轴交点，即x=0，得出C（0，-2m-4）；设⊙P的圆心为P（x0 ， y0），由P为AB中点，得出P点横坐标，再PA=PC，根据两点间距离公式得出P点纵坐标，即P（，）；设⊙P与y轴的另一交点的坐标为（0，b），根据中点坐标公式得b=1，即⊙P经过y轴上一个定点，该定点坐标为（0，1）. ②由①知，D（0，1）在⊙P上，由）①知⊙P的圆心P（，），由圆周角定理得△DBE为直角三角形，再根据两点间距离公式得DB= ，BE= ，由BE=2DB，在Rt△DBE中，设DB=x，则BE=2x，根据勾股定理得DE= ，由三角形周长公式得 △BDE的周长l= ，又⊙P的半径r= ，从而得出值.