已知椭圆的离心率为,,分别为的左、右顶点.(1)求的方程;(2)若点在上,点在直线上,且,,求的面积.
问题详情:
已知椭圆的离心率为,,分别为的左、右顶点.
(1)求的方程;
(2)若点在上,点在直线上,且,,求的面积.
【回答】
(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)因为,可得,,根据离心率公式,结合已知,即可求得*;
(2)点在上,点在直线上,且,,过点作轴垂线,交点为,设与轴交点为,可得,可求得点坐标,求出直线的直线方程,根据点到直线距离公式和两点距离公式,即可求得的面积.
【详解】(1)
,,
根据离心率,
解得或(舍),
的方程为:,
即;
(2)点在上,点在直线上,且,,
过点作轴垂线,交点为,设与轴交点为
根据题意画出图形,如图
,,,
又,,
,
根据三角形全等条件“”,
可得:,
,
,
,
设点为,
可得点纵坐标为,将其代入,
可得:,
解得:或,
点为或,
①当点为时,
故,
,
,
可得:点为,
画出图象,如图
,,
可求得直线的直线方程为:,
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为:,
根据两点间距离公式可得:,
面积为:;
②当点为时,
故,
,
,
可得:点为,
画出图象,如图
,
可求得直线的直线方程为:,
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为:,
根据两点间距离公式可得:,
面积为:,
综上所述,面积为:.
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题,解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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