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已知椭圆C的离心率为,点A,B,F分别为椭圆的右顶点,上顶点和右焦点,且.(1)求椭圆C的方程(2)已知直线被...

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问题详情:

已知椭圆C的离心率为,点A,B,F分别为椭圆的右顶点,上顶点和右焦点,且.(1)求椭圆C的方程(2)已知直线被...

已知椭圆C的离心率为,点A,B,F分别为椭圆的右顶点,上顶点和右焦点,且.

(1)求椭圆C的方程

(2)已知直线被圆O:所截得的弦长为,若直线与椭圆C交于M、N两点,求∆OMN面积的最大值.

【回答】

解:(1)设方程为C:,则A(a,0),B(0,b),F(c,0)

∵椭圆C的离心率为

∴联立①②,解得b=1,c=∴a=2,

∴椭圆的方程为=1;

(2)圆O的圆心为坐标原点,半径为2,

∵直线l:y=kx+m被圆O:x2+y2=4所截弦长为2,

由垂径定理可得O到MN距离d为1 ∴=1 ∴m2=1+k2③

直线l代入椭圆方程,可得()x2+2kmx+m2﹣1=0

∴t=3,即4k2+1=3,解得时,S取得最大值为1.

知识点:圆锥曲线与方程

题型:解答题