已知椭圆的离心率是，其左、右顶点分别为、，为短轴的一个端点，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与轴交于，...

问题详情：

已知椭圆的离心率是，其左、右顶点分别为、，为短轴的一个端点，的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与轴交于，是椭圆上异于、的动点，直线、分别交直线于、两点，求*：为定值．

【回答】

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．.

专题：

圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：

（1）根据椭圆离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的端点，△A1BA2的面积为2，建立方程组，可求椭圆方程．

（2）A1（﹣2，0），A2（2，0）．设P（x0，y0），直线A1P的方程为y=（x+2），令x=2，得|DE|=，同理|DF|=，由此能求出|DE|•|DF|为定值1．

解答：

（1）解：由已知，可得，

解得a=2，b=．

故所求椭圆方程为．  

（2）由题意可得：A1（﹣2，0），A2（2，0）．设P（x0，y0），

由题意可得：﹣2＜x0＜2，

∴直线A1P的方程为y=（x+2），令x=2，

则y=，即|DE|=，

同理：直线BP的方程为y=（x﹣2），令x=2，

则y=，即|DF|=，

所以|DE|•|DF|=×==，

y02=4﹣x02，代入上式，得|DE|•|DF|=1，

故|DE|•|DF|为定值1．

点评：

本题考查椭圆方程的求法，考查|DE|•|DE|恒为定值的*，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题