已知函数f(x)=ln2x﹣2aln(ex)+3,x∈[e﹣1,e2](1)当a=1时,求函数f(x)的值域;...
问题详情:
已知函数f(x)=ln2x﹣2aln(ex)+3,x∈[e﹣1,e2]
(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;
(2)若f(x)≤﹣alnx+4恒成立,求实数a的取值范围.
【回答】
【解答】解:(1)当a=1时,y=f(x)=ln2x﹣2lnx+1,
令t=lnx∈[﹣1,2],
∴y=t2﹣2t+1=(t﹣1)2,
当t=1时,取得最小值0;t=﹣1时,取得最大值4.
∴f(x)的值域为[0,4];
(2)∵f(x)≤﹣alnx+4,
∴ln2x﹣alnx﹣2a﹣1≤0恒成立,
令t=lnx∈[﹣1,2],
∴t2﹣at﹣2a﹣1≤0恒成立,
设y=t2﹣at﹣2a﹣1,
∴当时,ymax=﹣4a+3≤0,
∴,
当时,ymax=﹣a≤0,
∴a>1,
综上所述,.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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