方程ax2+2x+1=0,a∈R的根构成*A.(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;(2)当...
问题详情:
方程ax2+2x+1=0,a∈R的根构成*A.
(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;
(2)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件.
【回答】
解(1)A中有且只有一个元素,即ax2+2x+1=0有且只有一个根或有两个相等的实根.
①当a=0时,方程的根为x=-;
②当a≠0时,由Δ=4-4a=0,得a=1,此时方程的两个相等的根为x1=x2=-1.
综上可知,当a=0时,*A中的元素为-;
当a=1时,*A中的元素为-1.
(2)A中至少有一个元素,即方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实根或有两个相等的实根或有一个实根.
①当方程有两个不相等的实根时,a≠0,且Δ=4-4a>0,即a<1,且a≠0;
②当方程有两个相等的实根时,a≠0,且Δ=4-4a=0,即a=1;
③当方程有一个实根时,a=0,
此时2x+1=0,得x=-,符合题意.
由①②③可知,当A中至少有一个元素时,a满足的条件是a≤1.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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