已知*A的元素全为实数,且满足若a∈A,则∈A.(1)若a=-3,求出A中其他所有元素.(2)0是不是*A...

问题详情：

已知*A的元素全为实数,且满足若a∈A,则∈A.

(1)若a=-3,求出A中其他所有元素.

(2)0是不是*A中的元素?请你设计一个实数a∈A,再求出A中的所有元素.

(3)根据(1)(2),你能得出什么结论?

【回答】

解(1)由-3∈A,得=-∈A.

由-∈A,得∈A.

由∈A,得=2∈A.

由2∈A,得=-3∈A.

故A=.

故A中的其他元素为-,2.

(2)0不是A中的元素.若0∈A,则=1∈A,而当1∈A时,不存在,故0不是A中的元素.取a=3,可得A=.

(3)猜想:①A中没有元素-1,0,1;

②A中有4个元素,且有两组元素都互为负倒数.

①由(2)知:0,1∉A.若-1∈A,则=0,而0∉A,故-1∉A;

②设a1∈A,则a1∈A⇒=a2∈A⇒a3==-∈A⇒a4=∈A⇒a5==a1∈A.

又由*元素的互异*知,A中最多只有4个元素a1,a2,a3,a4,且a1a3=-1,a2a4=-1.若a1=a2,则=-1,无实数解,即a1≠a2;同理,a1,a2,a3,a4互不相等.故A中有4个元素,且有两组元素都互为负倒数.

知识点：*与函数的概念

题型：解答题