已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2且an＞0．（...

问题详情：

已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2且an＞0．

（1）求a1，a2的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）若bn=，记Sn=，如果Sn＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．

【回答】

【考点】8E：数列的求和．

【分析】（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．

（2）由题意知，an+13=（a1+a2++an+an+1）2﹣（a1+a2++an）2，由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．同样有an2=2（a1+a2++an﹣1）+an（n≥2），由此得an+12﹣an2=an+1+an．所以an+1﹣an=1．所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，由通项公式即可得到所求．

（3）求得bn===2[﹣]，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得Sn，结合不等式的*质，恒成立思想可得m≥，进而得到所求最小值．

【解答】解：（1）当n=1时，有a13=a12，

由于an＞0，所以a1=1．

当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，

将a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，

由于an＞0，所以a2=2．

（2）由于a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，①

则有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2．②

②﹣①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2﹣（a1+a2+…+an）2，

由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1．③

同样有an2=2（a1+a2+…+an﹣1）+an（n≥2），④

③﹣④，得an+12﹣an2=an+1+an．

所以an+1﹣an=1．

由于a2﹣a1=1，即当n≥1时都有an+1﹣an=1，

所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．

故an=n．

（3）bn===2[﹣]，

则Sn=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]

=2[+﹣﹣]＜2×=，

Sn＜对任意的n∈N*恒成立，可得≥，

即有m≥，

可得正整数m的最小值为4．

知识点：数列

题型：解答题