已知数列{an}满足(a1+2a2+…+2n-1an)=2n+1(n∈N*).(1)求a1,a2和{an}的通...

问题详情：

已知数列{an}满足(a1+2a2+…+2n-1an)=2n+1(n∈N*).

(1)求a1,a2和{an}的通项公式;

(2)记数列{an-kn}的前n项和为Sn,若Sn≤S4对任意的正整数n恒成立,求实数k的取值范围.

【回答】

 解(1)由题意得a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,

所以a1=1×22=4,a1+2a2=2×23,得a2=6.

由a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,

所以a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n(n≥2),

相减得2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n,

得an=2n+2,当n=1也满足上式.

所以{an}的通项公式为an=2n+2.

(2)数列{an-kn}的通项公式为an-kn=2n+2-kn=(2-k)n+2,

所以数列{an-kn}是以4-k为首项,公差为2-k的等差数列.

若Sn≤S4对任意的正整数n恒成立,等价于当n=4时,Sn取得最大值,

所以

解得k

知识点：数列

题型：解答题