设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).(1)...
问题详情:
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)求*:数列{Sn+2}是等比数列.
【回答】
解:(1)因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),
所以当n=1时,a1=2×1=2;
当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,
所以a2=4;
当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,
所以a3=8.
综上,a2=4,a3=8.
(2)*:因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).①
所以当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1
=(n-2)Sn-1+2(n-1).②
①-②,得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2.
所以-Sn+2Sn-1+2=0,
即Sn=2Sn-1+2,
所以Sn+2=2(Sn-1+2).
因为S1+2=4≠0,所以Sn-1+2≠0,所以=2,
故{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.
知识点:数列
题型:解答题
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