已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中,bn>0(...
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已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中,bn>0(n∈N*),且b1+b2+b3=15, 3、b27成等比数列.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn,
【回答】
(1)bn=2n+1(n∈N*);(2)Tn=n·3n.
【解析】(1) ∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),
∴an=2Sn-1+1(n∈N*,n>1), ∴an+1-an=2(Sn-Sn-1),
即an+1-an=2an, ∴an+1=3an(n∈N*,n>1).
而a2=2a1+1=3,∴a2=3a1.
∴ 数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,
∴an=3n-1(n∈N*).
在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5.
又3、b27成等比数列,得b4=±9,又bn>0,故公差d>0,所以b4=9,d=2,
又b2=5,∴bn=2n+1(n∈N*).
(2) 由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)·3n-2+(2n+1)3n-1,①
∴3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②
∴①-②得 -2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n
=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n
=3+2×-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n·3n.
∴Tn=n·3n.
知识点:数列
题型:解答题
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