已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1.(1)设bn＝a...

问题详情：

已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1.

(1)设bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，求*：数列{bn}是等比数列；

(2)设cn＝(n＝1,2，…)，求*：数列{cn}是等差数列．

【回答】

*：(1)因为Sn＋1＝4an＋2，

所以Sn＋2＝4an＋1＋2，

两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，…)，

即an＋2＝4an＋1－4an，

变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，

因为bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，

所以bn＋1＝2bn，

由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列．

(2)由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a1＝1，

得a2＝5，b1＝a2－2a1＝3.

故bn＝3·2n－1.

因为cn＝(n＝1,2，…)，

所以cn＋1－cn

将bn＝3·2n－1代入得cn＋1－cn＝(n＝1,2，…)．

由此可知，数列{cn}是公差d＝的等差数列．

知识点：推理与*

题型：解答题